El teorema dice: P(H | E) = P(E | H) · P(H) / P(E). P(H) es la probabilidad previa (prior) de la hipótesis; P(E | H), la verosimilitud de la evidencia si la hipótesis fuera cierta; P(H | E), la probabilidad posterior, lo que corresponde creer después de ver E. Se deduce en una línea de la probabilidad condicional: como P(E | H) · P(H) = P(H | E) · P(E), basta despejar (Witten et al., 2017, pp. 98, 337).
Ejemplo mínimo. El 20 % de los correos es spam; la palabra «gratis» aparece en la mitad del spam y en el 5 % del resto. Entonces P(gratis) = 0,5 · 0,2 + 0,05 · 0,8 = 0,14, y P(spam | gratis) = (0,5 · 0,2) / 0,14 ≈ 0,71. La evidencia subió la probabilidad de 0,20 a 0,71, pero no a 1: la probabilidad previa sigue pesando.
El clasificador Bayes ingenuo aplica esta regla a muchos indicios a la vez. Supone, «ingenuamente», que los indicios son independientes dada la clase, y entonces le basta con multiplicar sus probabilidades; la suposición casi nunca es verdadera y, aun así, el método funciona sorprendentemente bien en datos reales (Witten et al., 2017, pp. 96–99). Fue de las primeras técnicas aplicadas a clasificar documentos por su contenido (Maron, 1961). El mismo marco justifica técnicas de suavizado: tratar los parámetros como si tuvieran distribuciones previas que los datos van actualizando evita, por ejemplo, que una palabra nunca vista anule todo el cálculo con un cero (Witten et al., 2017, pp. 99–100).
Para la epistemología es el núcleo del bayesianismo, una teoría de cómo actualizar creencias graduadas ante la evidencia; y un error humano bien documentado es, justamente, ignorar la tasa de base, la probabilidad previa. Conviene no confundir niveles: que un sistema de aprendizaje automático use la regla de Bayes no lo vuelve un agente bayesiano, y que una red neuronal se comporte como si actualizara creencias no muestra que calcule con ellas.