Una métrica es una función d(x, y) que cumple cuatro condiciones: d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 solo si x = y; simetría, d(x, y) = d(y, x); y desigualdad triangular, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Todo método que razona por cercanía, como los k vecinos más cercanos, k-means o la búsqueda semántica, hereda de ella su noción de parecido.
La familia habitual. Se eleva cada diferencia entre coordenadas a una potencia p, se suma y se toma la raíz p-ésima. Con p = 1 es la distancia de Manhattan; con p = 2, la euclídea; las potencias mayores dan más peso a las diferencias grandes (Witten et al., 2017, p. 135), y en el límite solo cuenta la mayor. Entre (0, 0) y (3, 4), Manhattan da 7; la euclídea, 5; el máximo, 4. Witten y colegas proponen preguntarse «what would twice that distance mean» [¿qué significaría el doble de esa distancia?] (2017, p. 135).
Con embeddings reina la similitud coseno. Pero 1 − cos no es una métrica (viola la desigualdad triangular), aunque en vectores normalizados ordena igual que la euclídea, porque |a − b|² = 2 − 2·cos(a, b). El aprendizaje contrastivo invierte el problema: no elige una métrica para un espacio dado, sino que entrena el espacio para que una métrica fija capture la semejanza buscada, como en Sentence-BERT o CLIP.
¿Es la semejanza una métrica? Tversky (1977) cuestionó sus axiomas con datos psicológicos. La semejanza es asimétrica: una elipse se juzga más parecida a un círculo que a la inversa, porque la variante se parece al prototipo más que este a ella. La desigualdad triangular es dudosa: Jamaica se parece a Cuba por geografía, Cuba a Rusia por política (en 1977), pero Jamaica y Rusia no se parecen en nada. La métrica tiene además peso teórico: según Buckner (2024), decidir si una red interpola o extrapola exige fijar cómo se mide la distancia entre rasgos (2024, p. 222).